Од давнина до данашњих дана – стари математички задаци

Кинески задатак

1. У кавезу се налазе фазани и зечеви. Све ове животиње имају укупно 35 глава и 94 ноге. Треба наћи број фазана и број зечева.

Решење:

Задатак ћемо решити методом лажне претпоставке. Наиме, ако би у кавезу били само фазани онда би број ногу био 70, а не 94. Према томе, овај „вишак“ од 24 ноге треба распоредити тамо да неке од већ претпостављених двоножних животиња постану четвороножне. То се може урадити

24 : 2 = 12 пута, па закључујемо да је зечева било 12, а фазана 23.

Арапски фолклор

2. У стаду камила има 28 глава и 45 грба. Колико том стаду има једногрбих, а колико двогрбих камила?

Решење:

Методом лажне претпоставке разматрамо случај да су свих 28 камила једногрбе. Тада још 17 грба (45 – 28) = 17 треба распоредити на 17 камила које већ имају по једну грбу. Тако ће 17 камила постати двогрбе, а преосталих 28 – 17 = 11 камила биће једногрбе.

3. Два пријатеља имају 8 литара вина у балону чија је запремина тачно 8 литара. Оно хоће да поделе то вино на два једнака дела, али могу користити друга два балона од којих један има запремину 5 литара, а други 3 литра. Како ће они то учинити?

8 л

8

3

3

6

6

1

1

4

5 л

0

5

2

2

0

5

4

4

3 л

0

0

3

0

2

2

3

Стари кинески задатак

4. Пред нама се налази гомила предмета. Ако их узимамо по 3, остаће 2 предмета; ако их узимамо по 5 остаће 3 предмета; ако их изимамо по7 остаће 2 предмета. Колико је предмета било на гомили?

Решење:

Из првог услова је јасно да број предмета на гомили може бити:

5, 8, 11, 14, 17, 20, 23,…

Из другог услова, број предмета може бити:

8, 13, 18, 23,…

Из трећег услова, број предмета може бити:

9, 16, 23,…

Број 23 је први број који испуњава сва три услова задатка, па тако закључујемо да најмањи број предмета на тој гомили може бити 23.

5. Неколико купаца хоће заједно да купе робу. Ако сваки за ту куповину да по 8 новчића, онда ће 3 новчића бити сувишна. Ако сваки да по 7 новчића, недостајаће им 4 новчића. Колико је било купаца и колика је била цена робе?

Решење:

7 купаца, 53 новчића

Здраво 100 гусака!

6. Летело јато гусака, а у сусрет им лети један гуса и каже: „Здраво 100 гусака!“ а оне му одговарају:“Не, нем нас 100! Али, ако би нас било још оволико колико нас има и још пола тога, затим још чевртина тога броја, и на крају, да си још и ти гусане са нама, било би нас 100.“ Колико је било гусака у том јату?

 

Решење: јато приказујемо са 4 дижи која се састоји од 4 једнака дела, половину јата из два једнака дела и четвртину јата као један (основни) непознати делић х. Тада је:

 

 

 

 

 

                                        4 х                                          4 х                             2 х            х

4х + 4х + 2х +х +1 = 100

11 х = 99

Х = 9, а цело јато 36 гусака

Руски фолклор

7. У старо време пошао сељк на пијацу и понео 200 рубаља. Прошетао по пијаци и видео да крава кошта 4 пута више него прасе и 4 пута мање него коњ. Размисли мали, па одлучи да својих 200 рубаља потроши тако што ће купити једно прасе, две краве и једног коња. Колика је била цена сваке од животиња које је тај сељак купио?

Решење:

Из текста треба видети да најмању цену има прасе. У укупној суми њему припада један (најмањи део).

Четири таква дела вреди крава ( а две краве 8 делова) и коначно 16 таквих делова вреди коњ. Дакле, у укупној суми имамо 1 + 8 + 16 = 25 једнаких делова. Оно укупно вреде 200 рубаља, па један ео вреди 200 : 25 = 8 (рубаља) То значи да је сељак за прасе платио 8 рубаља, за једну краву 32 рубаља, а за коња 128 рубаља.

Задатак из „ бахшалијског рукописа“

8. Четири човека дала су прилог у укупном износу од 132. Други је дао два пута више од првог, трећи, трипут више од другог, четврти четири пута више од трећег. Колико је дао први?

 

Решење :

Задатак решавамо методом лажне претпоставке. Ако би први дао 1, онда би други дао 2, трећи 6, четврти 24. Све то заједно би било 33, а у тексту се каже да су заједно дали 132, тј. Четири пута више. Одавде закључујемо да је сваки дао четири пута више од првобитне претпоставке.

Дакле, први 4, други 8, трећи 24, четврти 96.

Можемо задатак решити цртежом, а затим написати једначину:

Х +2 х + 6 х + 24 х = 132

Х = 4

Једначина из Московског папируса

9. Број и његова половина дају 9. Нађи тај број.

 

Решење: на основу цртежа можемо написати веома једноставну једначину 2 x +  x = 9, чије је решење 3 представља половину траженог броја. Ради се дакле, о броју 6.

 

 

 

 

                                       2 x                            x

 

 

 

 

10. Наћи број који повећан за своје две трећине и још за 1, даје 11.

Решење: ако оваквим цртежом прикажемо услове задатка, онда је јасно да 5 једнаких делова ( а то су трећине траженог броја) и још 1, вреде укупно 11. Значи, један део, тј. Трећина траженог броја, вреди 2. Цео број, тада  вреди 6.

                                                                                   X                                                                                                           1                  =11

Још један задатак руског фолклора

11. Сељанка је донела на пијац јабуке и размишљала: „ Ако би са овим јабукама које имам у корпи додала још половину од броја који имам и ако бих имала још 10 јабука, било би их у корпи тачно 100“. Колико је јабука сељанка донела на пијац?

Решење:  Ако укупну количину јабука које сељанка има у корпи, иразимо као 2х, онда половина од тога х, па цртеж изгледа овако:

          2 х         +          х                   + 10 = 100

Дакле, сељанка је донела на пијацу 60 јабука.

ПРИЧА О ПУЖУ

12. Стуб је висок 10 метара. Према врху стуба, рано изјутра, упутио се пуж. Током дана успе да се попне 3 метра, али ноћу, док одмара, склизне натраг 2 метра. Ког дана ће пуж стићи на врх стуба?

Решење: Пажљивом анализом текста закључујемо да се пуж за један цео дан(дан и ноћ) попне тачно 1 метар. Ако бисмо непажљиво доносили закључке могло би нам се учинити да ће се на стуб висине 10 метара пуж попети за 10 дана. Најважнији део овог задатка односи се на онај дан када се пуж домогне до врха, јер онда одатле више неће клизити назад. Пуж ће ту бити у предвечерје оног дана када је на пут кренуо са висине од 7 метара, јер ће тог дана савладати оних својих (дневних) 3 метра.

Из овог следи да ће се то десити осмог дана предвече.

А у Јапану? Решавају овакав задатак о пужу:

13. За које време ће се пуж попети на врх Фуџија (3776 метара), ако се дању попне 4 метра, а ноћу склизне натраг 2 метра?

Решење: 3776: (4-2)=1888 дана, јер овај пут дневно савладава висину од 2 метра. Међутим, код последњег дана савлада последња 4 метра, он више неће клизити назад. Зато је коначно решење 1888-1=1887 дана.

Задатак из дечије штампе у србији у 19.веку, „Невен“ Чика Јове Змаја

14. Имао сам ( нећу да кажем ко,лко) ораха. Половину и још 3 више разделио сам са друговима. А кад сам од остатка појео 2 остао ми је само 1. Колико сам имао ораха?

Решење: (12)

Математичка шала

15. Питали једног сељака колико у његовом дворишту има птица (живине). Он је одговорио: „ Све су гуске осим две, све су кокошке осим две и све су патке осим две“. Може ли се на основу оваквог сељаковог одговора утврдити колико он има живине?

Решење:

Задатак можемо схватити и као логички задатак и као малу математичку шалу, а можемо га и веома озбиљно решавати једначином:

(х – 2) + ( х – 2) + (х – 2 ) = х, одакле је х = 3

Значи да тај сељак има једну патку, једну гуску и једну кокошку.

Извор: Архимедес

Advertisements

Ostavite komentar

Objavljeno pod Математика

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s